Cisneiros por aí

Todos nós trabalhamos com probabilidades. É algo que usamos o tempo todo. É sempre bom ter informações como as chances de chover no dia, as chances de tirar notas boas para passar, as chances do sua chefe te dar aquele aumento que você pediu ontem, sem saber que ela estava de TPM e havia brigado com o marido (cerca de 0,0033%, calculando com otimismo).

Probabilidade é uma coisa fácil. Vamos provar aqui que é algo simples, algo que uma criança conseguiria pensar. E, para isso, vamos usar um jogo conhecido como Roleta Russa. A maioria deve conhecer, mas deixe-me dar uma breve explicação. O jogo utiliza uma arma, geralmente uma de seis tiros. Em um dos espaços, é colocada uma bala, e os outros ficam vazios. A seguir, o canhão (onde as balas ficam) é girado e os jogadores, um a um, dão um tiro na sua cabeça. Obviamente, quando a bala sair em um desses tiros, o jogador deste turno perde.

Há duas variações principais nas regras:

1. A bala é colocada e o canhão é girado. O primeiro jogador dá um tiro e suas chances de perder são 1/6 (16%). Se ele não perder, é a vez do segundo. Agora, as chances de ele perder são 1/5 (20%). O terceiro tem chances de 1/4 (25%), e assim sucessivamente. Se houver um sexto jogador e a vez dele chegar, logicamente, ele perderá, pois suas chances de perder serão de 1/1, ou seja, 100%.
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2. A bala é colocada e o canhão é girado. O primeiro jogador dá um tiro e suas chances de perder são 1/6 (16%). Se ele não perder, o canhão é girado novamente, e é a vez do segundo. Como foi misturado de novo, as chances do segundo são, também, 1/6(16%). Todos os outros jogadores também terão chances de 1/6 (16%) de perder.

Agora vamos brincar com probabilidades. Se, na primeira modalidade, as chances vão diminuindo e, na segunda, as chances são constantes, é lógico que a segunda é mais justa, certo? Afinal, da primeira forma, o primeiro jogador tem 16% em chances de perder, o segundo tem 20%, o terceiro 25%, etc. Já na segunda modalidade, as chances de todos os jogadores é 16%, certo? Errado.

A verdade é que o primeiro modo é mais justo, e neles todos tem chances iguais de perder. Vejamos o porquê. Analisando as chances de perda:

• Primeiro jogador: 1/6 (16%)
• Segundo jogador: 5/6 x 1/5 = 1/6 (16%)
• Terceiro jogador: 5/6 x 4/5 x 1/4 = 1/6 (16%)

Não entendeu? Pense: o primeiro jogador tem chances de 1/6 de perder. Já o segundo jogador, na sua vez, tem 1/5. Mas para que chege a vez dele, o primeiro tem que ganhar. E as chances de o primeiro ganhar são 5/6. Então as chances verdadeiras são 5/6 x 1/5, que dá 1/6. O mesmo vale para o terceiro. Ele tem 1/4 em chances de, no seu turno, perder. Mas, para que seu turno chegue, é preciso que o primeiro e o segundo ganhem, e assim por diante.

Agora vamos analisar a segunda modalidade. Se eu disse que uma é justa, então essa deve ser a injusta. Olhando com atenção, é facil perceber que, quanto antes você jogar, melhores suas chances de vencer, certo? Afinal de contas, quando você der o tiro e vencer, você está livre, e as chances de a bala não sair depois da 2ª, 3ª, 4ª pessoas são pequenas, logo, quanto depois você jogar, menores suas chances de vida, não é? Errado de novo.

É exatamente o contrário que ocorre. Quanto antes você jogar, maiores suas chances de perder. Analisando outra vez as chances de perda:

• Primeiro jogador: 1/6 (16%)
• Segundo jogador: 5/6 x 1/6 = 5/36 (13%)
• Terceiro jogador: 5/6 x 5/6 x 1/6 = 25/216 (11%)

Não acompanhou? É simples: o primeiro jogador tem 1/6 (16%) em chances de perder. O segundo também tem 1/6 na sua vez, mas para que ele possa jogar, o primeiro tem que vencer, e as chances de isso acontecer são 5/6. Então as chances verdadeiras são 5/6 x 1/6, que dá aproximadamente 13%. Já o terceiro jogador, no seu turno, também tem 1/6 em chances de perder, mas, para que seu turno aconteça, os dois outros tem que vencer, e assim vai.

Isso prova que nem tudo que parece, é. A gente muitas vezes olha para o mundo com emoção, e deixa que isso supere o racional. Num jogo desses, aquele que usasse somente a razão teria uma chance de êxito bem maior do que alguém que não pensasse da mesma forma.

O que aprendemos com isso? Ao meu ver, a lição é: quando estiver jogando Roleta Russa, se for jogar pela primeira modalidade, tanto faz, mas se for pela segunda, tente ser o último. Como eu acho que a maioria dos meus leitores não faz parte da Liga Internacional de Roleta Russa, eu acho que isso não foi algo muito engrandecedor nas suas vidas…

Então a verdadeira lição é: vá estudar probabilidades, pois você aparentemente não é bom nisso! E meta bronca em comentários!